Үнэмлэхүй нэгдэл. Цувралуудын абсолют ба нөхцөлт нийлэлт Үнэмлэхүй эсвэл нөхцөлт нийлдэг

Одоо бид гишүүд нь ямар ч тэмдгийн бодит тоо болох цувралуудын судалгаа руу шилжиж байна.

Тодорхойлолт 1. Бид цувралыг дуудах болно

цуврал нийлбэл туйлын нийлдэг

Энэхүү тодорхойлолт нь цуврал (1.49) өөрөө нийлнэ гэж таамаглаж байгаа эсэх талаар юу ч хэлээгүй болохыг анхаарна уу. Дараах теорем үнэн тул ийм таамаглал нь илүүц байх болно.

Теорем 1.9. Цувралын нэгдэл (1.50) нь цувралын нийлэлтийг (1.49) илэрхийлнэ.

Баталгаа. Цувралд Коши шалгуурыг ашиглая (жишээлбэл, теорем 1.1). Аливаа тооны хувьд нөхцөлийг хангасан бүх тоо, аль ч натурал тооны хувьд тэгш бус байх тоо байгаа гэдгийг батлах шаардлагатай.

Бид аль нэгийг нь засдаг. Цуврал (1.50) нийлдэг тул теорем 1.1-ийн дагуу нөхцөлийг хангасан бүх тоо болон аливаа натурал тооны хувьд тэгш бус байдал үүсэх тоо байна.

Хэд хэдэн гишүүний нийлбэрийн модуль нь тэдгээрийн модулийн нийлбэрээс хэтрэхгүй тул

Тэгш бус байдлыг (1.52) ба (1.53) харьцуулж үзвэл бид (1.51) тэгш бус байдлыг олж авна. Теорем нь батлагдсан.

Тодорхойлолт 2. (1.50) модулиудаас харгалзах цуваа нь энэ цуваа нийлдэг бол (1.49) цувралыг нөхцөлт нийлдэг гэж нэрлэдэг.

Үнэмлэхүй нийлсэн цувааны жишээ бол цуврал юм.

(1.33) цуврал нь -д нийлдэг тул энэ цуваа туйлын нийлдэг.

Нөхцөлтэй нийлэх цувааны жишээг өгье. Цувралын нөхцөлт нийлэлтийг баталъя

Харгалзах модулиудын цуваа (гармоник цуваа) нь бидний аль хэдийн мэдэж байгаагаар салж байгаа тул цувралын нөхцөлт нийлэлтийг (1.54) нотлохын тулд энэ цуваа нийлж байгааг нотлоход хангалттай. (1.54) цуваа тоонд нийлдэг болохыг баталцгаая. Ч-ийн 9-р зүйлийн 2 дахь хэсэгт. 6-р хэсэг 1-ээс бид функцийн Маклаурин өргөтгөлийг олж авсан

Үүнтэй ижил газарт сегментийн бүх х-ийн хувьд үлдсэн хугацааны дараах тооцоог гаргав.

цуврал нийлдэг (ерөнхийдөө) нийлмэл нэр томъёотой

Цуврал (1)-ийн үнэмлэхүй нийлэхийн тулд бүх тоо болон бүхэл тоонуудын хувьд аль ч цувралын хувьд ийм тоо байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай (цувралын үнэмлэхүй нийлэх Кошигийн шалгуур) юм.

Хэрэв цуврал үнэмлэхүй нийлдэг бол энэ нь нийлдэг. Мөр

туйлын нийлдэг ба эгнээ

нийлдэг, гэхдээ туйлын биш. Болъё

Цуврал (1)-тэй ижил нэр томъёоноос бүрдсэн цуврал боловч ерөнхийдөө өөр дарааллаар авсан. Цуврал (1)-ийн үнэмлэхүй нийлэх нь (3) цувралын үнэмлэхүй нийлэлтийг илэрхийлдэг бөгөөд (3) цуврал нь (1) цувралын нийлбэртэй ижил байна. Хэрэв мөрүүд

туйлын нийлдэг, тэгвэл: тэдгээрийн дурын шугаман хослол

мөн туйлын нийлдэг; дурын дарааллаар байрлуулсан эдгээр цувралын нөхцлийн бүх боломжит хос үржвэрээс олж авсан цуваа нь мөн туйлын нийлдэг бөгөөд түүний нийлбэр нь эдгээр цувралын нийлбэрүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна. Үнэмлэхүй нийлсэн цувааны жагсаасан шинж чанарууд нь дараах руу шилждэг олон эгнээ

үнэмлэхүй нийлдэг, өөрөөр хэлбэл (4) цувралын нөхцлүүдийг индексүүдийн дараалсан нийлбэрээр олж авсан бүх цуваа үнэмлэхүй нийлдэг ба олон цуваа (4) ба давтагдсан цувааны (5) нийлбэрүүд нь тэнцүү бөгөөд давхцдаг. Цувралын бүх гишүүдээс үүссэн аливаа нэг цувралын нийлбэр (4 ).

Хэрэв (1) цувааны нөхцлүүд нь элементийн нормтой зарим Баначийн орон зайн элементүүд байвал (1) цувралыг дуудна. цуврал нийлбэл туйлын нийлдэг

A. s-ийн хувьд. Р. Банах орон зайн элементүүд, туйлын нийлсэн тоон цувааны дээр дурдсан шинж чанаруудыг ерөнхийд нь авч үздэг, тухайлбал, А. Р. Банах орон зайн элементүүд энэ орон зайд нийлдэг. Үүний нэгэн адил, үзэл баримтлал нь A. s. Р. Баначийн орон зайд олон цуврал руу шилждэг.

Математикийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. I. M. Виноградов. 1977-1985 он.

Бусад толь бичгүүдээс "ҮМСЭН CONVERGENT SERIES" гэж юу болохыг харна уу:

X олонлог дээр нийлдэг (ерөнхийдөө) нийлмэл гишүүдтэй функциональ цуваа (1) бөгөөд ямар ч e>0-ийн хувьд ne тоо байхаар бүх n>ne болон бүх тэгш бус байдал нь хаана болон бусад тохиолдолд байна. үгс, хэсэгчилсэн дараалал ...... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Агуулга. 1) Тодорхойлолт. 2) Дараа нь тодорхойлсон тоо. 3) Цувралуудын нийлэх ба салгах. 4) Нөхцөл ба үнэмлэхүй ойртолт. 5) Нэг төрлийн нэгдэл. 6) Функцуудыг цуврал болгон өргөжүүлэх. 1. Тодорхойлолт. R. нь элементүүдийн дараалал, ... ... Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Эфрон

Хязгааргүй нийлбэр, зарим шугаман топологийн элементүүдийн дараалал (гишүүн болон өгөгдсөн ууланд хуваарилагдсан) орон зай ба тэдгээрийн хязгаарлагдмал нийлбэрүүдийн тодорхой хязгааргүй багц (дэлхийн хэсэгчилсэн ба нийлбэр гэж нэрлэдэг ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Цуврал, хязгааргүй нийлбэр, жишээ нь u1 + u2 + u3 +... + un +... эсвэл товчоор хэлбэл, . (1) Анхан шатны математикт аль хэдийн олдсон R.-ийн хамгийн энгийн жишээнүүдийн нэг нь 1 + q + q 2 +... + q… … геометр прогрессийн хязгааргүй бууралтын нийлбэр юм.

Би бол хязгааргүй нийлбэр, жишээлбэл, u1 + u2 + u3 + ... + un + ... хэлбэрийн төгсгөлгүй нийлбэр эсвэл товчхондоо анхан шатны математикт аль хэдийн олдсон R.-ийн хамгийн энгийн жишээнүүдийн нэг бол хязгааргүй нийлбэр юм. буурах нийлбэр ...... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Сүүдэргүй хэсэгт байгалийн логарифм (улаан) руу нийлдэг функцүүдийн дараалал. Энэ тохиолдолд N нь хүчин чадлын цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр бөгөөд N нь гишүүний тоог заана. Функциональ цуврал ... Википедиа

S нь олон цуваа бөгөөд хүснэгтийн гишүүдээс бүрдсэн хэлбэрийн илэрхийлэл юм. Энэ хүснэгтийн гишүүн бүрийг m, n, индексээр дугаарласан. . . , p, бие биенээсээ хамааралгүйгээр бүх натурал тоогоор дамждаг. Онол K. r. давхар цувааны онолтой төстэй. Мөн үзнэ үү…… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Олон нумын косинус ба синусын цуваа, өөрөөр хэлбэл ak, bk эсвэл ck гэж нэрлэгддэг хэлбэрийн эсвэл нийлмэл хэлбэрийн цуваа. коэффициентүүд T. r. Анх удаа T. r. L. Euler-д уулзана (L. Euler, 1744). Тэрээр серд өргөтгөлүүдийг хүлээн авсан. 18-р зуун холбоотой …… Математик нэвтэрхий толь бичиг

Цуврал нь k-ээс хамааралгүй зарим мужид холоморф функцууд. Хэрэв бүгдэд зориулагдсан бол (*) цувралыг дуудна. Хартогсын ойролцоо. Хэлбэрийн Hartogs мужид голоморф хэлбэртэй аливаа функц нь DГ дотор үнэмлэхүй, жигд нийлдэг функц болж задардаг. Л.р. Бүрэн ... ... Математик нэвтэрхий толь бичиг

Хувьсах цуврал нь ээлжлэн цувралын онцгой тохиолдол юм.

Тодорхойлолт 2.2.Аливаа тооны дараа гишүүд өөр өөр тэмдэгтэй байдаг тоон цувааг дууддаг ээлжлэн .

Ээлжит цувралын хувьд дараах хүчинтэй байна. нийлэх хангалттай ерөнхий шалгуур.

Теорем 2.2.Ээлжит цувралыг өгье

Хэрэв энэ цувралын нөхцлийн модулиудаас бүрдсэн цуврал нийлдэг

дараа нь ээлжлэн (2.2) цуваа өөрөө нийлнэ.

Эсрэг заалт нь үнэн биш гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: хэрэв цуврал (2.2) нийлдэг бол энэ нь (2.3) цуваа нийлнэ гэсэн үг биш юм.

Тодорхойлолт 2.3. туйлын нэгдмэл хэрэв түүний гишүүдийн модулиудаас бүрдэх цуврал нийлдэг.

ээлжлэн цуврал гэж нэрлэдэг нөхцөлт нийлдэг хэрэв энэ нь өөрөө нийлж, түүний нөхцлийн модулиудаас бүрдэх цуваа зөрүүтэй байвал.

Хувьсах цувралуудын дунд туйлын нийлсэн цувралууд онцгой байр эзэлдэг. Ийм цуврал нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг бөгөөд бид үүнийг нотлох баримтгүйгээр томъёолдог.

Нийлбэртэй туйлын нийлсэн хоёр цувралын үржвэр нь нийлбэр нь .

Ийнхүү туйлын нийлсэн цувааг энгийн цуваа шиг нийлж, хасаж, үржүүлдэг. Ийм цувралын нийлбэр нь нэр томьёо бичсэн дарааллаас хамаардаггүй.

Нөхцөлтэй нийлэх цувааны хувьд харгалзах баталгаа (шинж чанар) нь ерөнхийдөө тохирохгүй.

Тиймээс нөхцөлт нийлсэн цувааны нөхцлүүдийг дахин цэгцлэх замаар цувааны нийлбэр өөрчлөгдөхийг баталгаажуулах боломжтой. Жишээлбэл, эгнээ Лейбницийн тестийн дагуу нөхцөлт нийлдэг. Энэ цувралын нийлбэр нь байна. Нэг эерэг гишүүний дараа хоёр сөрөг гишүүн байхаар нөхцлүүдийг нь дахин бичье. Бид цуврал авдаг

Хэмжээ хоёр дахин буурсан!

Түүнээс гадна нөхцөлт нийлсэн цувааны нөхцлүүдийг дахин цэгцлэх замаар урьдчилан тодорхойлсон нийлбэр эсвэл дивергент цуваа (Риманы теорем) бүхий нийлмэл цувааг олж авч болно.

Тиймээс цуваа дээрх үйлдлүүдийг тэдгээрийн үнэмлэхүй нийлэлтийг баталгаажуулахгүйгээр гүйцэтгэх боломжгүй. Үнэмлэхүй нийлэлтийг бий болгохын тулд эерэг нэр томъёо бүхий тоон цувааг нэгтгэх бүх шинж тэмдгүүдийг ашигладаг бөгөөд нийтлэг нэр томъёог модулиар нь сольж өгдөг.

Жишээ 2.1. .

Шийдэл.Анхны цуврал нь тэмдэгт хувьсагч юм. Энэ цувралын нэр томъёоны үнэмлэхүй утгуудаас бүрдсэн цувралыг авч үзье, жишээлбэл. эгнээ . -ээс хойш ижил төстэй цувралын нөхцөл нь Дирихлетийн цувралын нөхцлөөс ихгүй байна нийлж байгаа нь мэдэгдэж байна. Тиймээс харьцуулах тест дээр үндэслэн энэ цуврал нь туйлын нийлдэг. ,

Жишээ 2.2.Цувралыг нэгтгэхийн тулд судал.

Шийдэл.

2) Үнэмлэхүй гишүүдээс бүрдсэн цувралыг авч үзье. Бид d'Alembert тестийг ашиглан нэгдмэл байдлыг шалгадаг

Д'Аламбертийн шалгуурын дагуу үнэмлэхүй нэр томъёоноос бүрдсэн цуврал нийлдэг. Тиймээс анхны ээлжлэн цуваа нь туйлын нийлдэг. ,

Жишээ 2.3.Нийцэх цувааг судал .

Шийдэл. 1) Энэ цуврал ээлжлэн байна. Бид Лейбницийн тестийг ашигладаг. Нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгая.

Тиймээс анхны цувралууд нийлдэг.

2) Үнэмлэхүй гишүүдээс бүрдсэн цувралыг авч үзье. Харьцуулахын хязгаарын шалгуурыг ашиглан нийлэх эсэхийг шалгая. Зөрж буй гармоник цувралыг авч үзье.

Тиймээс хоёр мөр хоёулаа адилхан ажилладаг, i.e. үнэмлэхүй нөхцлөөс бүрдсэн цуваа нь мөн ялгаатай. Тиймээс анхны ээлжлэн цуваа нөхцөлт байдлаар нийлдэг. ,

Ээлжит эгнээ. Лейбницийн тэмдэг.
Үнэмлэхүй ба нөхцөлт ойртолт

Энэ хичээлийн жишээг ойлгохын тулд эерэг тоон цувааг сайн мэддэг байх шаардлагатай: цуваа гэж юу болохыг ойлгох, цуваа нийлэх шаардлагатай тэмдгийг мэдэх, харьцуулах тэмдгийг хэрэглэх чадвартай байх, d' Аламбертийн тэмдэг, Кошигийн шинж тэмдэг. Нийтлэлүүдийг дараалан судалснаар сэдвийг бараг эхнээс нь гаргаж болно Цайны аяганд зориулсан эгнээТэгээд Д'Аламберын тэмдэг. Кошигийн шинж тэмдэг. Логикийн хувьд энэ хичээл нь дараалсан гурав дахь хичээл бөгөөд энэ нь зөвхөн ээлжлэн мөрүүдийг ойлгох төдийгүй аль хэдийн хамрагдсан материалыг нэгтгэх боломжийг олгоно! Шинэлэг зүйл бага байх болно, ээлжлэн мөрүүдийг эзэмшихэд хэцүү биш байх болно. Бүх зүйл энгийн бөгөөд боломжийн үнэтэй.

Ээлжит цуврал гэж юу вэ?Энэ нь нэрнээс нь тодорхой эсвэл бараг тодорхой харагдаж байна. Хамгийн энгийн жишээ.

Цувралыг авч үзээд илүү дэлгэрэнгүй бичнэ үү:

Одоо алуурчин тайлбар. Хувьсах цувралын гишүүд нь нэмэлт, хасах, нэмэх, хасах, нэмэх, хасах гэх мэт тэмдэгтүүдийг өөрчилдөг. хязгааргүйд руу.

Альтернатив нь үржүүлэгчийг өгдөг: хэрэв тэгш бол нэмэх тэмдэг, сондгой бол хасах тэмдэг байх болно (хичээлээс санаж байгаачлан). тооны дарааллын тухай, энэ зэвсгийг "анивчуулагч" гэж нэрлэдэг). Тиймээс ээлжлэн цуваа нь "en"-ийн хүчийг хасах нэгээр "тодорхойлогдох" болно.

Практик жишээн дээр цувралын нэр томьёо солих нь зөвхөн хүчин зүйлийг төдийгүй түүний ах дүүсийг хангаж чадна: , , , …. Жишээлбэл:

Нөхцөл байдал нь "заль мэх" юм:,, гэх мэт. ийм үржүүлэгчид юм тэмдгийн өөрчлөлтийг бүү өг. Ямар ч байгалийн : , , . Заль мэхтэй мөрүүд нь зөвхөн авьяаслаг оюутнуудад хальтирдаг төдийгүй тэд шийдвэрлэх явцад заримдаа "өөрөө" гарч ирдэг. функциональ мөрүүд.

Хувьсах цувралыг нийлмэл байдалд хэрхэн шалгах вэ?Лейбниц тэмдгийг ашигла. Би Германы сэтгэхүйн аварга Готфрид Вильгельм Лейбницийн тухай ярихыг хүсэхгүй байна, учир нь тэрээр математикийн бүтээлүүдээс гадна философийн хэд хэдэн боть ном гаргасан. Тархинд аюултай.

Лейбницийн тэмдэг: Хэрэв ээлжит цувралын гишүүд нэгэн хэвийнмодулийг бууруулж дараа нь цуваа нийлнэ.

Эсвэл хоёр догол мөрөнд:

1) Цуврал тэмдэг ээлжлэн байна.

2) Цувралын нөхцлүүд нь модулийн бууралт: , үүнээс гадна монотоноор буурдаг.

Хэрэв эдгээр нөхцөл хангагдсан бол цувралууд нийлнэ.

Товч мэдээлэлмодулийн тухай гарын авлагад өгсөн Халуун сургуулийн математикийн томъёо, гэхдээ тав тухтай байдлыг хангах үүднээс дахин:

"Модуло" гэж юу гэсэн үг вэ? Сургуулиас бидний санаж байгаагаар модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Цуврал руугаа буцаж орцгооё . Оюуны хувьд бүх тэмдгийг баллуураар арилгана тоонуудыг хар. Бид үүнийг харах болно дараагийн тус бүрэгнээний гишүүн багаөмнөхөөсөө. Тиймээс дараах хэллэгүүд ижил утгатай.

- Цувралын гишүүд тэмдэггүйбуурах.
– Цувралын гишүүд цөөрч байна модуль.
– Цувралын гишүүд цөөрч байна By үнэмлэхүй үнэ цэнэ.
– МодульЦувралын нийтлэг гишүүн нь тэг рүү чиглэдэг:

// тусламжийн төгсгөл

Одоо нэг хэвийн байдлын талаар бага зэрэг яръя. Монотони бол уйтгартай тогтмол байдал юм.

Эгнээ гишүүд хатуу монотонцувралын ДАРААГИЙН гишүүн БҮР бол модулийг бууруулна модульӨмнөхөөсөө БАГА: . Тооны хувьд бууралтын хатуу монотон байдал хангагдсан тул үүнийг дэлгэрэнгүй тайлбарлаж болно.

Товчхондоо бид цувралын дараагийн гишүүн бүрийг хэлж чадна модульөмнөхөөсөө бага: .

Эгнээ гишүүд хатуу монотон бишХэрэв цуврал модулийн ДАРААГИЙН гишүүн БҮР нь өмнөхөөсөө ИЛҮҮ БОЛОХГҮЙ бол модулийн бууралт: . Факториал бүхий цувралыг авч үзье: Цувралын эхний хоёр нөхцөл нь үнэмлэхүй утгаараа ижил байдаг тул энд хатуу бус монотон байдал үүсдэг. Энэ нь цувралын дараагийн гишүүн бүр юм модульөмнөхөөсөө илүүгүй: .

Лейбницийн теоремын нөхцөлд бууралтын монотон байдлыг хангах ёстой (хатуу, хатуу биш байх нь хамаагүй). Үүнээс гадна, цувралын гишүүд болно тэр ч байтугай хэсэг хугацаанд модулийг нэмэгдүүлэх, гэхдээ цувралын "сүүл" нь заавал монотон буурч байх ёстой.

Миний цуглуулсан зүйлээс айх шаардлагагүй, практик жишээнүүд бүх зүйлийг байранд нь оруулах болно.

Жишээ 1

Цувралын нийтлэг нэр томьёо нь хүчин зүйлийг багтаасан бөгөөд энэ нь Лейбницийн шалгуурын нөхцөлийн биелэлтийг шалгах байгалийн бодлыг санал болгож байна.

1) Мөрийг сольж байгаа эсэхийг шалгаж байна. Ихэвчлэн шийдвэрийн энэ үед цувралыг дэлгэрэнгүй тайлбарласан байдаг болон "Цуврал тэмдэг ээлжлэн байна" гэсэн шийдвэрийг гаргах.

2) Цувралын нөхцөл нь модулийг бууруулдаг уу? Энд та хязгаарыг шийдэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь ихэвчлэн маш энгийн байдаг.

- цувралын нөхцлүүд үнэмлэхүй утгаараа буурахгүй бөгөөд энэ нь автоматаар түүний зөрүүг илэрхийлдэг - учир нь хязгаар нь байхгүй *, өөрөөр хэлбэл цуваа нийлэхэд шаардлагатай шалгуур хангагдаагүй байна.

Жишээ 9

Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Жишээ 10

Цувралыг нэгтгэх эсэхийг шалгана уу

Тоон эерэг ба ээлжлэн цувааг цэвэр ухамсартайгаар чанарын хувьд судалсны дараа та нэг хэвийн, жигд сонирхолтой функциональ цуврал руу шилжиж болно.

Жишээ 2

Цуврал нийлж байгаа эсэхийг судал.

Учир нь

Энэ цуврал нэгдэж байна.

Нийцлийн салшгүй тэмдэг

Нэгдэх интеграл шалгуурыг дараах теоремоор илэрхийлнэ

Теорем 1.8.

Эерэг нөхцөл бүхий цуврал өгөгдсөн

Хэрэв -ийн хувьд функц нь тасралтгүй, эерэг бөгөөд өсөхгүй, харин цэгүүд дээр утгыг авдаг бол цувралууд(1.23) ба буруу интеграл(1.24) нэгэн зэрэг нийлэх эсвэл салах.

Баталгаа.

Хэрэв , дараа нь, хаанаас

;

Хэрэв интеграл (1.24) нийлбэл ба , Тэр аливаа байгалийн хувьд Тиймээс,

.

Нэгэн хэвийн өсөлттэй, хязгаарлагдмал дараалал байдаг тул i.e. цуврал (1.23) мөн нийлдэг. Хэрэв (1.23) цуваа нийлдэг ба , аль ч .

Энэ нь тэгшитгэлээс (1.26) гарч байна ямар ч . Буруу интеграл бас нийлдэг.

Интеграл шалгуурын тусламжтайгаар цуврал гэдгийг баталж чадна

(1.27)

ямар ч бодит тоо хаана байна, -д нийлдэг, -д хуваагддаг.

Үнэн хэрэгтээ, -д нийлж, -д хуваагдана.

Ээлжит эгнээ. Лейбницийн тэмдэг

тэмдэг ээлжлэнмөрийг болон тоотой дурын хоёр гишүүн байх мөр гэж нэрлэдэг эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл. маягтын эгнээ

Баталгаа.

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг (1.28) тэгш, сондгой тоогоор авч үзье.

Эдгээр нийлбэрүүдийн эхнийхийг өөрчилье:

Нөхцөл (1.29)-ын дагуу хаалт тус бүрийн зөрүү эерэг тул нийлбэр мөн хүн бүрт. Ийнхүү бүр хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь монотон нэмэгдэж, хязгаарлагдмал байна. Энэ нь хязгаартай бөгөөд бид үүнийг -ээр тэмдэглэдэг, өөрөөр хэлбэл. . Учир нь , дараа нь өмнөх тэгш байдал ба нөхцөлийг (1.30) харгалзан бид олж авна

Тиймээс, тэгш ба сондгой тоо бүхий өгөгдсөн цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь ижил хязгаартай байна. Энэ нь цувралын бүх хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн дараалал нь хязгаартай гэсэн үг юм; тэдгээр. цуврал нэгдэж байна.

Жишээ.

Цуврал нийлж байгаа эсэхийг шалгана уу

(1.31)

Энэ цуврал тэмдэг ээлжлэн байна. Энэ нь теоремийн нөхцөлийг хангаж байгаа тул нийлдэг

Дараах теоремыг ашиглан ээлжийн цувааны үлдэгдлийн тооцоог тодорхойлно.

Теорем 1.10.

Лейбницийн теоремын нөхцлийг хангасан ээлжлэн цувааны үлдэгдлийн нийлбэр нь эхний үлдсэн гишүүний тэмдэгтэй бөгөөд үнэмлэхүй утгаараа түүнээс хэтрэхгүй.

Баталгаа.

Нөхцөлүүдийн дараа (1.28) цувралын үлдсэн хэсгийг авч үзье. Үүний нийлбэрийг хэсэгчилсэн нийлбэр гэж үзье

Теорем 1.9-ийн нөхцлүүд хангагдсан тул дараахыг гаргана бүгдэд нь, өөрөөр хэлбэл. , хаана

эсвэл

Үүний нэгэн адил нэр томъёоны дараа үлдсэн цувааны нийлбэр нь нөхцөлийг хангаж байгаа нь батлагдсан , өөрөөр хэлбэл Тэгээд .

Тиймээс тэгш сондгой эсэхээс үл хамааран

Энэ цувралын гишүүдийн модулиудаас бүрдсэн цувралыг авч үзье.

(1.34)

Теорем 1.11.

Хэрэв эгнээ(1.34) нийлнэ, дараа нь цуваа нийлнэ(1.33).

Баталгаа.

Цуврал (1.34) нийлдэг тул Коши шалгуурын дагуу (Теорем 1.1) аль ч тоонд ийм тоо байгаа бол бүх болон бүхэл тоонд тэгш бус байдал үүсдэг.

.

Тэр . Энэ нь цуврал (1.33) мөн нийлдэг гэсэн үг юм.

Сэтгэгдэл.

Цуврал (1.33) нийлэх нь цуваа (1.34) нийлэх гэсэн үг биш юм. Жишээлбэл, эгнээ нийлдэг (1.6-р хэсгийг үзнэ үү), түүний нэр томъёоны модулиудын цуваа нь хуваагддаг (гармоник цуврал, 1.2-р хэсгийг үзнэ үү).

туйлын нэгдмэл,хэрэв түүний нэр томъёоны цуврал модуль нийлбэл. Жишээлбэл, эгнээ

нь туйлын нийлдэг, учир нь түүний нэр томъёоны модулийн цуваа нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. цуваа (, хуваагчтай геометр прогресс).

ээлжлэн цуврал гэж нэрлэдэг туйлын нийлэхгүй (нөхцөлтэй нийлэх),хэрэв энэ нь нийлж, түүний гишүүдийн модулийн цуваа зөрөөд байвал. Жишээлбэл, цуврал нь туйлын нийлдэггүй (Тайлбарыг үзнэ үү).

Мөрийн үйлдлүүд.

Цувралын бүтээгдэхүүн

Теорем 1.12.

Хэрэв эгнээ(1.35) нийлж, дараа нь цуваа(1.36) мөн нийлдэг, мөн

(1.37)

Баталгаа.

u - e цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр (1.35) ба (1.36), өөрөөр хэлбэл.

Мэдээжийн хэрэг, . Хэрэв цуваа (1.35) нийлж, нийлбэр нь , i.e. , , Тэр

Цувралаас гадна (1.35) цувралыг авч үзье

мөн үнэмлэхүй нийлдэг бөгөөд нийлбэр нь тэнцүү байна

Сэтгэгдэл.

Цуврал дээр ажиллах дүрэм нь хязгаарлагдмал нийлбэр дээр ажиллах дүрэмтэй үргэлж давхцдаггүй. Ялангуяа хязгаарлагдмал нийлбэрт нэр томъёоны дарааллыг дур мэдэн өөрчилж, нэр томъёог ямар ч байдлаар бүлэглэж болно, үүнээс нийлбэр өөрчлөгдөхгүй. Эцсийн нийлбэрийн нөхцлүүдийг урвуу дарааллаар нэмж болно, цувралын хувьд ийм боломж байхгүй, учир нь энэ нь сүүлийн гишүүн байхгүй.

Гишүүдийг цувралаар бүлэглэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, эгнээ

ялгаатай учраас

мөн түүний хэсэгчилсэн нийлбэрт хязгаарлалт байхгүй. Гишүүдийг бүлэглэсний дараа

Бид нийлсэн цуваа авах бөгөөд түүний нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Гишүүдийн өөр бүлэгтэй

Бид нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү нийлсэн цуваа авдаг.

Бид нотлох баримтгүйгээр хоёр теоремыг танилцуулж байна.

Теорем 1.14.

Үнэмлэхүй нийлсэн цувааны нөхцлүүдийг дахин цэгцлэх нь түүний нийлэлтийг зөрчихгүй, харин цувааны нийлбэр хэвээр байна.

Теорем 1.15.

Хэрэв цуваа туйлын бус нийлдэг бол түүний нөхцлүүдийг зохих ёсоор өөрчилснөөр цувааны нийлбэрт дурын утгыг өгөх, тэр ч байтугай цувааг салгах боломжтой.