Konvergensi absolut. Konvergensi absolut dan bersyarat dari deret Bertemu secara absolut atau kondisional

Kami sekarang beralih ke studi seri yang anggotanya adalah bilangan real dari tanda apa pun.

Definisi 1. Kami akan memanggil seri

konvergen mutlak jika deret konvergen

Perhatikan bahwa definisi ini tidak mengatakan apa-apa tentang apakah deret (1,49) itu sendiri dianggap konvergen. Ternyata anggapan seperti itu mubazir, karena teorema berikut ini benar.

Teorema 1.9. Konvergensi deret (1.50) menyiratkan konvergensi deret (1.49).

Bukti. Mari kita gunakan kriteria Cauchy untuk deret tersebut (yaitu, Teorema 1.1). Diperlukan untuk membuktikan bahwa untuk sembarang ada bilangan sedemikian sehingga untuk semua bilangan memenuhi syarat dan untuk sembarang bilangan asli pertidaksamaan

Kami memperbaiki apa pun. Karena deret (1,50) konvergen, maka berdasarkan Teorema 1.1, terdapat suatu bilangan yang sedemikian sehingga untuk semua bilangan yang memenuhi syarat dan untuk sembarang bilangan asli, pertidaksamaan

Karena modulus jumlah beberapa suku tidak melebihi jumlah modulusnya, maka

Membandingkan pertidaksamaan (1,52) dan (1,53), kita memperoleh pertidaksamaan (1,51). Teorema telah terbukti.

Definisi 2. Suatu deret (1.49) dikatakan konvergen bersyarat jika deret ini konvergen sedangkan deret yang bersesuaian dari modul (1.50) divergen.

Contoh deret yang benar-benar konvergen adalah deret.

Deret ini konvergen mutlak, karena deret (1,33) konvergen di .

Mari kita beri contoh deret konvergen bersyarat. Mari kita buktikan konvergensi bersyarat dari deret tersebut

Karena rangkaian modul yang sesuai (rangkaian harmonik), seperti yang telah kita ketahui, menyimpang, untuk membuktikan konvergensi bersyarat dari deret (1,54) cukup untuk membuktikan bahwa deret ini konvergen. Mari kita buktikan bahwa deret (1,54) konvergen ke bilangan . Dalam paragraf 2 dari § 9 Ch. 6 bagian 1 kita telah memperoleh perluasan fungsi Maclaurin

Di tempat yang sama, untuk semua х dari segmen, estimasi suku sisa berikut diperoleh.

dengan (secara umum) istilah kompleks yang deretnya konvergen

Untuk konvergensi absolut dari deret (1) adalah perlu dan cukup (kriteria Cauchy untuk konvergensi absolut dari deret) bahwa untuk setiap ada bilangan sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan dan semua bilangan bulat

Jika suatu deret konvergen mutlak, maka konvergen. Baris

benar-benar konvergen dan satu baris

konvergen, tetapi tidak mutlak. Membiarkan

Deret yang terdiri dari suku-suku yang sama dengan deret (1), tetapi diambil, secara umum, dalam urutan yang berbeda. Konvergensi absolut dari deret (1) menyiratkan konvergensi absolut dari deret (3), dan deret (3) memiliki jumlah yang sama dengan deret (1). Jika baris

konvergen mutlak, maka: setiap kombinasi linear dari mereka

juga konvergen secara mutlak; deret yang diperoleh dari semua produk berpasangan yang mungkin dari suku-suku deret ini, yang disusun dalam urutan sewenang-wenang, juga konvergen mutlak dan jumlahnya sama dengan hasil kali penjumlahan deret ini. Properti yang terdaftar dari deret yang benar-benar konvergen dibawa ke beberapa baris

konvergen mutlak, yaitu, semua deret yang diperoleh dengan penjumlahan berturut-turut dari suku-suku deret (4) atas indeks-indeks konvergen secara absolut, dan jumlah dari deret berganda (4) dan deret berulang (5) adalah sama dan berimpit dengan jumlah dari setiap deret tunggal yang dibentuk dari semua anggota deret (4 ).

Jika suku-suku deret (1) adalah elemen dari suatu ruang Banach dengan norma elemen, maka deret (1) disebut. konvergen mutlak jika deret konvergen

Dalam kasus A. s. R. elemen-elemen ruang Banach, sifat-sifat yang dipertimbangkan di atas dari deret numerik yang benar-benar konvergen juga digeneralisasikan, khususnya, A. s. R. elemen ruang Banach bertemu di ruang ini. Begitu pula dengan konsep A. s. R. dibawa ke beberapa seri dalam ruang Banach.

Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Lihat apa itu "SERIES KONVERGENT BENAR-BENAR" di kamus lain:

Deret fungsional (1) dengan suku-suku kompleks (umumnya), konvergen pada himpunan X, dan sedemikian rupa sehingga untuk setiap e>0 terdapat bilangan ne , sehingga untuk semua n>ne dan semua pertidaksamaan terjadi di mana dan Di lainnya kata-kata, urutan sebagian ... ... Ensiklopedia Matematika

Isi. 1) Definisi. 2) Nomor ditentukan selanjutnya. 3) Konvergensi dan divergensi deret. 4) Konvergensi bersyarat dan absolut. 5) Konvergensi seragam. 6) Perluasan fungsi menjadi rangkaian. 1. Definisi. R. adalah urutan elemen, ... ... Kamus Ensiklopedis F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Jumlah tak terbatas, urutan elemen (ditugaskan ke anggota dan gunung tertentu) dari beberapa topologi linier ruang dan himpunan tak terbatas tertentu dari jumlah terbatasnya (disebut parsial dan jumlah dunia ... ... Ensiklopedia Matematika

Serangkaian, jumlah tak terbatas, misalnya dalam bentuk u1 + u2 + u3 +... + un +... atau, singkatnya, . (1) Salah satu contoh paling sederhana dari R., yang sudah ditemukan dalam matematika dasar, adalah jumlah dari deret geometris yang menurun tak terhingga 1 + q + q 2 +... + q… …

Saya adalah jumlah tak terbatas, misalnya, dalam bentuk u1 + u2 + u3 + ... + un + ... atau, singkatnya, Salah satu contoh paling sederhana dari R., yang sudah ditemukan dalam matematika dasar, adalah tak terhingga jumlah menurun ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Urutan fungsi yang, di area yang tidak diarsir, menyatu dengan logaritma natural (merah). Dalam hal ini, itu adalah N, jumlah parsial dari deret pangkat, di mana N menunjukkan jumlah suku. Seri fungsional ... Wikipedia

S adalah deret ganda, ekspresi bentuk yang terdiri dari anggota tabel.Setiap anggota tabel ini diberi nomor dengan indeks m, n, . . . , p, yang melewati semua bilangan asli secara independen satu sama lain. Teori K.r. mirip dengan teori deret ganda. Lihat juga… … Ensiklopedia Matematika

Serangkaian cosinus dan sinus dari banyak busur, mis. serangkaian bentuk atau dalam bentuk kompleks di mana ak, bk atau, masing-masing, ck dipanggil. koefisien T. r. Untuk pertama kalinya T.r. bertemu di L. Euler (L. Euler, 1744). Dia menerima ekspansi di ser. abad ke 18 sehubungan dengan…… Ensiklopedia Matematika

Deret di mana adalah fungsi yang holomorfik di beberapa domain yang tidak bergantung pada k. Jika untuk semua, maka deret (*) disebut. dekat Hartogs. Fungsi apa pun yang holomorfik dalam domain Hartogs bentuk D terdekomposisi menjadi konvergen mutlak dan seragam di dalam DГ. L.r. Secara penuh ... ... Ensiklopedia Matematika

Deret bolak-balik adalah kasus khusus dari deret bolak-balik.

Definisi 2.2. Seri numerik, yang anggotanya setelah nomor apa pun memiliki tanda yang berbeda, disebut bergantian .

Untuk seri bolak-balik, berikut berlaku. kriteria yang cukup umum untuk konvergensi.

Teorema 2.2. Biarkan seri bergantian diberikan

Jika suatu deret tersusun dari modul-modul maka suku-suku deret ini konvergen

maka deret bolak-balik (2.2) itu sendiri konvergen.

Perlu dicatat bahwa pernyataan kebalikannya tidak benar: jika deret (2.2) konvergen, ini tidak berarti bahwa deret (2.3) akan konvergen.

Definisi 2.3. benar-benar konvergen jika deret yang tersusun dari modul-modul anggotanya konvergen.

Seri bolak-balik disebut konvergen bersyarat jika ia sendiri konvergen dan deret yang tersusun dari moduli suku-sukunya divergen.

Di antara deret bolak-balik, deret yang benar-benar konvergen menempati tempat khusus. Seri tersebut memiliki sejumlah properti, yang kami rumuskan tanpa bukti.

Produk dari dua deret yang benar-benar konvergen dengan jumlah adalah deret yang benar-benar konvergen yang jumlahnya .

Jadi, deret yang benar-benar konvergen dijumlahkan, dikurangi, dikalikan seperti deret biasa. Jumlah dari deret tersebut tidak bergantung pada urutan penulisan suku-suku tersebut.

Dalam kasus seri konvergen bersyarat, pernyataan (properti) yang sesuai tidak berlaku secara umum.

Jadi, dengan mengatur ulang suku-suku dari deret konvergen bersyarat, dimungkinkan untuk memastikan bahwa jumlah deret berubah. Misalnya, berturut-turut konvergen kondisional menurut uji Leibniz. Biarkan jumlah seri ini menjadi . Mari kita tulis ulang sukunya sehingga setelah satu suku positif akan ada dua suku negatif. Kami mendapatkan seri

Jumlahnya telah dibelah dua!

Selain itu, dengan mengatur ulang suku-suku dari deret konvergen bersyarat, seseorang dapat memperoleh deret konvergen dengan jumlah yang ditentukan sebelumnya atau deret divergen (teorema Riemann).

Oleh karena itu, operasi pada seri tidak dapat dilakukan tanpa memastikan konvergensi absolutnya. Untuk membangun konvergensi absolut, semua tanda konvergensi deret numerik dengan istilah positif digunakan, menggantikan istilah umum di mana-mana dengan modulusnya.

Contoh 2.1. .

Larutan. Seri aslinya adalah variabel tanda. Pertimbangkan deret yang terdiri dari nilai absolut dari ketentuan deret ini, mis. baris . Karena , maka suku-suku deret sejenis tidak lebih besar dari suku-suku deret Dirichlet , yang diketahui konvergen. Oleh karena itu, berdasarkan uji perbandingan, deret ini konvergen secara mutlak. ,

Contoh 2.2. Selidiki seri untuk konvergensi.

Larutan.

2) Pertimbangkan seri yang terdiri dari anggota absolut. Kami memeriksanya untuk konvergensi menggunakan uji d'Alembert

Menurut kriteria d'Alembert, suatu deret yang terdiri dari suku-suku absolut akan bertemu. Oleh karena itu, deret bolak-balik asli konvergen secara mutlak. ,

Contoh 2.3. Selidiki deret konvergensi .

Larutan. 1) Seri ini bergantian. Kami menggunakan tes Leibniz. Mari kita periksa apakah kondisinya terpenuhi.

Oleh karena itu, deret aslinya konvergen.

2) Pertimbangkan seri yang terdiri dari anggota absolut. Mari kita periksa untuk konvergensi menggunakan kriteria batas perbandingan. Pertimbangkan deret harmonik yang menyimpang.

Oleh karena itu, kedua baris berperilaku dengan cara yang sama, yaitu. deret yang terdiri dari suku-suku absolut juga menyimpang. Oleh karena itu, deret bolak-balik asli konvergen secara kondisional. ,

Baris bergantian. Tanda Leibniz.
konvergensi mutlak dan bersyarat

Untuk memahami contoh-contoh pelajaran ini, perlu menguasai deret bilangan positif dengan baik: untuk memahami apa itu deret, untuk mengetahui tanda konvergensi deret yang diperlukan, untuk dapat menerapkan tanda perbandingan, d ' Tanda Alembert, tanda Cauchy. Topik dapat diangkat hampir dari awal dengan mempelajari artikel secara berurutan Baris untuk teko Dan Tanda d'Alembert. Tanda Cauchy. Logikanya, pelajaran ini adalah yang ketiga berturut-turut, dan ini akan memungkinkan tidak hanya untuk memahami baris bergantian, tetapi juga untuk mengkonsolidasikan materi yang sudah dibahas! Akan ada sedikit hal baru, dan tidak akan sulit untuk menguasai baris bergantian. Semuanya sederhana dan terjangkau.

Apa itu seri bergantian? Ini jelas atau hampir jelas dari namanya sendiri. Contoh paling sederhana saja.

Pertimbangkan seri dan tulis lebih detail:

Sekarang untuk komentar pembunuh. Anggota deret bolak-balik mengganti tanda: plus, minus, plus, minus, plus, minus, dll. hingga tak terbatas.

Pergantian memberikan pengganda: jika genap, maka akan ada tanda tambah, jika ganjil, tanda minus (seperti yang Anda ingat dari pelajaran tentang urutan bilangan, alat ini disebut "flasher"). Jadi, deret bolak-balik "diidentifikasi" dengan minus satu pangkat "en".

Dalam contoh praktis, pergantian suku-suku deret tidak hanya dapat memberikan faktor , tetapi juga saudara-saudaranya: , , , …. Misalnya:

Perangkapnya adalah "trik" :,, dll. adalah pengganda tersebut tidak memberikan perubahan tanda. Cukup jelas bahwa untuk alam apapun : , , . Baris dengan trik diselipkan tidak hanya untuk siswa yang sangat berbakat, mereka kadang-kadang muncul "sendiri" selama pemecahan baris fungsional.

Bagaimana cara memeriksa rangkaian bolak-balik untuk konvergensi? Gunakan tanda Leibniz. Saya tidak ingin berbicara tentang pemikiran raksasa Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz, karena selain karya matematika, dia menulis beberapa jilid tentang filsafat. Berbahaya bagi otak.

Tanda Leibniz: Jika anggota seri bolak-balik monoton menurunkan modulo, maka deret konvergen.

Atau dalam dua paragraf:

1) Seri ini berganti-ganti tanda.

2) Ketentuan deret modulo berkurang: , apalagi berkurang secara monoton.

Jika kondisi ini terpenuhi, maka deret konvergen.

Informasi singkat tentang modul diberikan dalam manual Rumus Matematika Sekolah Panas, tetapi sekali lagi untuk kenyamanan:

Apa yang dimaksud dengan "modulo"? Modul, seperti yang kita ingat dari sekolah, "memakan" tanda minus. Mari kita kembali ke seri . Hapus semua tanda secara mental dengan penghapus dan lihat angkanya. Kita akan melihat itu setiap selanjutnya anggota baris lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jadi, frasa berikut memiliki arti yang sama:

- Anggota seri tanpa tanda mengurangi.
- Anggota seri berkurang modulo.
- Anggota seri berkurang Oleh nilai mutlak.
– Modul suku umum dari deret tersebut cenderung nol:

// akhir bantuan

Sekarang mari kita bicara sedikit tentang monoton. Monoton adalah keteguhan yang membosankan.

Anggota baris sangat monoton kurangi modulo jika SETIAP anggota BERIKUTNYA dari seri modulo KURANG dari sebelumnya: . Untuk nomor monotonitas yang ketat dari penurunan terpenuhi, dapat dijelaskan secara rinci:

Dan kami dapat mengatakan secara singkat: setiap anggota seri berikutnya modulo kurang dari yang sebelumnya: .

Anggota baris tidak terlalu monoton penurunan modulus, jika SETIAP suku BERIKUTNYA dari deret modulo TIDAK LEBIH BESAR DARI suku sebelumnya: . Pertimbangkan seri dengan faktorial: Di sini, kemonotonan yang tidak ketat terjadi, karena dua suku pertama dari deret tersebut identik dalam nilai absolut. Artinya, setiap anggota seri berikutnya modulo tidak lebih dari yang sebelumnya: .

Di bawah kondisi teorema Leibniz, monotonitas penurunan harus dipenuhi (tidak masalah apakah itu ketat atau tidak). Selain itu, anggota seri bisa bahkan meningkatkan modulo untuk beberapa waktu, tetapi "ekor" dari rangkaian tersebut harus menurun secara monoton.

Tidak perlu takut dengan apa yang saya kumpulkan, contoh praktis akan menempatkan semuanya pada tempatnya:

Contoh 1

Istilah umum dari deret tersebut mencakup faktor , dan ini menyarankan pemikiran alami untuk memeriksa pemenuhan kondisi kriteria Leibniz:

1) Memeriksa baris untuk pergantian. Biasanya, pada titik pengambilan keputusan ini, rangkaian tersebut dijelaskan secara rinci dan berikan putusan "Serial ini berganti-ganti tanda".

2) Apakah suku-suku deret tersebut menurunkan modulo? Di sini Anda perlu menyelesaikan batasannya, yang seringkali sangat sederhana.

- ketentuan seri tidak berkurang dalam nilai absolut, dan ini secara otomatis menyiratkan perbedaannya - karena batasnya tidak ada *, yaitu kriteria yang diperlukan untuk konvergensi deret tidak terpenuhi.

Contoh 9

Periksa seri untuk konvergensi

Contoh 10

Periksa seri untuk konvergensi

Setelah studi kualitatif deret positif numerik dan bergantian dengan hati nurani yang bersih, Anda dapat beralih ke deret fungsional, yang tidak kalah monoton dan menarik secara seragam.

Contoh 2

Selidiki apakah deret tersebut konvergen.

Karena

Seri itu konvergen.

Tanda integral konvergensi

Kriteria integral untuk konvergensi dinyatakan oleh teorema berikut

Teorema 1.8.

Diberikan suatu deret dengan suku positif

Jika untuk , fungsinya kontinu, positif, dan tidak bertambah, tetapi mengambil nilai pada titik-titiknya, maka deret(1.23) dan integral tak wajar(1.24) konvergen atau divergen pada saat yang sama.

Bukti.

Jika , lalu , dari mana

;

Jika integral (1,24) konvergen dan , Itu untuk alam apapun Karena itu,

.

Karena ada urutan yang meningkat dan dibatasi secara monoton, yaitu deret (1,23) juga konvergen. Jika deret (1,23) konvergen dan , maka untuk sembarang .

Ini mengikuti dari persamaan (1.26) itu untuk apapun. Integral tak wajar juga konvergen.

Dengan bantuan kriteria integral, seseorang dapat membuktikan deret tersebut

(1.27)

di mana bilangan real, konvergen di dan divergen di .

Memang, konvergen di dan divergen di .

Baris bergantian. Tanda Leibniz

tanda bergantian baris disebut baris yang dua istilah dengan angka dan memiliki tanda yang berlawanan, yaitu deretan formulir

Bukti.

Pertimbangkan jumlah parsial dari deret (1.28) dengan bilangan genap dan ganjil:

Mari kita ubah penjumlahan pertama ini:

Karena kondisi (1.29), selisih setiap tanda kurung adalah positif, jadi jumlahnya dan untuk semua orang. Dengan demikian, barisan penjumlahan parsial genap bertambah dan dibatasi secara monoton. Ini memiliki batas, yang kami nyatakan dengan , yaitu. . Karena , kemudian, dengan mempertimbangkan persamaan dan kondisi sebelumnya (1.30), kami memperoleh

Jadi, barisan penjumlahan parsial dari suatu deret tertentu, masing-masing dengan bilangan genap dan ganjil, memiliki limit yang sama. Ini menyiratkan bahwa urutan semua jumlah parsial dari deret tersebut memiliki limit ; itu. seri konvergen.

Contoh.

Periksa apakah deret tersebut konvergen

(1.31)

Seri ini berganti-ganti tanda. Konvergen karena memenuhi syarat teorema

Perkiraan untuk sisa deret bolak-balik ditentukan menggunakan teorema berikut.

Teorema 1.10.

Jumlah sisa deret bolak-balik yang memenuhi syarat teorema Leibniz memiliki tanda sisa suku pertama dan tidak melebihinya dalam nilai absolut.

Bukti.

Pertimbangkan sisa deret (1.28) setelah suku. Biarkan jumlahnya menjadi jumlah parsial, lalu

Karena kondisi Teorema 1.9 terpenuhi, maka berikut ini untuk semua, yaitu , Di mana

atau

Demikian pula, terbukti bahwa jumlah sisa deret setelah suku-suku memenuhi syarat , yaitu Dan .

Oleh karena itu, terlepas dari apakah itu genap atau ganjil

Pertimbangkan seri yang terdiri dari modul anggota seri ini:

(1.34)

Teorema 1.11.

Jika baris(1.34) konvergen, maka deret tersebut konvergen(1.33).

Bukti.

Karena deret (1.34) konvergen, berdasarkan kriteria Cauchy (Teorema 1.1) untuk sembarang terdapat bilangan seperti itu, maka untuk semua dan sembarang bilangan bulat pertidaksamaan

.

Itu . Ini berarti deret (1,33) juga konvergen.

Komentar.

Konvergensi deret (1.33) tidak menyiratkan konvergensi deret (1.34). Misalnya, berturut-turut konvergen (lihat Bab 1.6), dan deret modul suku-sukunya divergen (deret harmonik, lihat Bab 1.2).

benar-benar konvergen, jika serangkaian modul suku-sukunya konvergen. Misalnya, berturut-turut

benar-benar konvergen, karena deret moduli suku-sukunya konvergen, yaitu seri (perkembangan geometris dengan penyebut , ).

Seri bolak-balik disebut konvergen tidak mutlak (kondisional konvergen), jika konvergen dan rangkaian moduli anggotanya menyimpang. Misalnya, deret tersebut tidak sepenuhnya konvergen (lihat Keterangan).

Tindakan baris.

Produk seri

Teorema 1.12.

Jika baris(1.35) konvergen, maka deret(1.36) juga konvergen, dan

(1.37)

Bukti.

Dilambangkan dengan u - e jumlah parsial dari deret (1.35) dan (1.36), mis.

Jelas sekali, . Jika deret (1,35) konvergen dan jumlahnya adalah , yaitu , , Itu

Selain deret (1.35), perhatikan deretnya

juga konvergen secara mutlak dan jumlahnya sama dengan

Komentar.

Aturan operasi deret tidak selalu sama dengan aturan operasi penjumlahan berhingga. Secara khusus, dalam jumlah yang terbatas, seseorang dapat secara sewenang-wenang mengubah urutan istilah, mengelompokkan istilah dengan cara apa pun, jumlahnya tidak akan berubah dari ini. Suku-suku dari jumlah akhir dapat dijumlahkan dalam urutan terbalik, untuk deret tidak ada kemungkinan seperti itu, karena tidak memiliki suku terakhir.

Tidak selalu mungkin untuk mengelompokkan anggota dalam suatu seri. Misalnya, berturut-turut

divergen karena

dan tidak ada batasan untuk jumlah parsialnya. Setelah mengelompokkan anggota

kita mendapatkan deret konvergen, jumlahnya sama dengan nol. Dengan pengelompokan anggota yang berbeda

kita mendapatkan deret konvergen yang jumlahnya sama dengan satu.

Kami menyajikan dua teorema tanpa bukti.

Teorema 1.14.

Menata ulang suku-suku suatu deret yang benar-benar konvergen tidak melanggar konvergensinya, sedangkan jumlah deretnya tetap sama.

Teorema 1.15.

Jika suatu deret konvergen secara non-absolut, maka dengan pengaturan ulang yang tepat suku-sukunya, selalu mungkin untuk memberikan nilai arbitrer pada jumlah deret tersebut dan bahkan membuat deret tersebut divergen.